春秋时期，衡量一个国家大小的标准就是这个国家拥有“战车千乘”还是“战车万乘”：“万乘之国”即大国，“千乘之国”就是小国。据考证，战车作为正式装备列装军队，始自夏朝末年！
最早登上战车的，是贵族子弟，而非普通民众——普通民众或奴隶只有跟着战车跑的份：
一辆战车上有甲士三人：一人驾车，一人持弓箭远程攻击，一人持长矛或长戈近身格杀，战车两侧配有步兵数十人不等，列队冲杀。
春秋时代，“兵者，诡道也”一说尚未得到实施，国与国之间打仗要遵守规矩：
一、战争要师出有名，不可趁人之危；
二、交战时间、地点透明（战场要选在开阔平原，利于集结军队、驾驶战车冲杀），而且要等双方都准备好了再开打，不可攻敌不备；
三、双方战斗过程中不能攻击对方君主（遇见后还要行礼），且一方败退后，胜方不可追着大杀大砍，只能追击五十步，就要停止。
正是这些先决条件，为战车提供了优越的生存环境！
自进入战国时代后，战争愈发激烈且无底线，战车逐渐失去了价值：
首先，一辆合格的战车造价很高：车身、车轴、车轮都需要上好的木材制成；车厢、车辕要以优质铜铁包裹；战马、车兵装备特殊，要专门打造（修缮成本同样很高）。
其次，后世的战场环境对比春秋时期更加复杂：战争不再是对阵开阔平原的“点到为止”，山地、河滩同样可以成为战场，在你死我活的战场上，如战车这般伤了马匹便失去战斗力的装备，已经成为战争的累赘。
最后，骑兵的兴起及马蹬的出现：战场、战法复杂化后，军队的机动能力成为影响战争胜败的又一大要素，而骑兵的发展，恰恰满足了这一点！尤其是马蹬出现后，骑士坐在马上更加稳固，可以自由放箭、近身格杀。
所以，战车的淘汰是时代发展之必然！
战争规模的不断扩大，战争频率的不断增加，以及对机动性、攻击力的追求是战车被淘汰的主要原因。
众所周知，在夏、商、周及春秋时期，主要的战斗单位就是一辆战车配上若干步兵，各国在衡量军力强弱时也是看有多少乘车。但战车有着诸多的缺陷：第一，车辆造价昂贵，再加上步车协同训练耗时长，一但战争中损失过大，很难在短时间内进行补充。第二，只适合在平原开阔地区作战，限制性强。第三，灵活性差。战车需要充足时间布阵，以便于阵型展开和冲锋。
在当时的战争环境和理念下，战车利用其强大的冲击力获得了各国的青睐，所以战车长期以来都是我国古代的主力兵种。
但到了战国时期，战争的规模越来越大，频率也越来越高。各国之间相互攻杀，损耗之大以无法支撑战车这样费钱的战争模式。同时随着兵家军事理论的发展，诡计层出不穷，不可能还给敌方充足时间来排列车阵的，战争地形也扩大到了山地、丘陵等广大地区。这一切都决定了战车被淘汰的历史命运。
多米诺骨牌最先在魏国被推倒。魏文侯时期魏国变法，产生了第一支雄霸天下的新军——魏武卒。随后各国都效仿建立了自己的新军，步兵开始崛起并迅速成了了军队的主力兵种。随后，赵武灵王胡服骑射，仿照北方游牧民族建立了强大的骑兵部队。骑兵的高机动性和冲击力，从诞生的一开始就成为了陆战中的大杀器，可谓是古代的坦克部队。
如题主所说，战车在古代战争中确实是风靡一时。
战车的应用在古代有着悠久历史，不仅是中国，在国外也是如此。最初战车应用是运输工具，而到了夏朝末年逐渐演变在了作战工具。有记载说，在商汤灭夏的战斗中,曾经动用战车七十乘，这里的七十乘不知道是不是全部用来作战，还是指挥，还是运输等用途，但至少可以肯定，战车已经应用于了古代战场，但这时敌我双方对垒仍以步兵为主，战车还不是作战主力。
在殷墟出土的甲骨文，有多种写法的车字，都是战车的象形。在随葬品中也有一些战车出土。到了西周时期，战车才成为了战场的主要作战力量，长达数百年，在统计战果时，只统计车马数量，在春秋战国时期，一个国家拥有的战车数量，往往被作为衡量综合国力的重要标准。
这时战车的地位已跃升至步兵之上，由此导致车战成了西周、春秋时期许多战役中主要的作战形式，而且规模很大。据《左传·僖公二十八年》记载，公元前632年，晋、楚两国爆发城濮之战，晋国出动战车七百乘。《左传·宣公二年》中记载，公元前607年，郑、宋两国的大棘之战中，郑国一次就俘虏了宋国的战车“四百六十乘”，公元前684年齐鲁两国长勺之战，当齐军败退时，曹刿阻止鲁庄公匆忙追击。他观察齐军败退时的旗帜和车辙，确认齐军是真的溃败后才下令追击，就是因为害怕齐军佯败后退设伏。
基本组成：车战的基本作战单位是乘。乘是以战车为中心配以一定数量的甲士和步卒（徒兵），再加上相应的后勤车辆与徒役编组而成。一般是2马或4马驾一辆战车，其中4马为多，四马两轮式战车是中国车战的定型用车。车上载3名甲士，按左、中、右排列，周围再包括一定数量的步兵。
武器装备方面：长武器一般有戈、酋矛、夷矛、戟、殳等，和短兵器有刀、剑等，此外，还有用于攻击的兵器弓箭。
作战场地：两国交战一般都将战场选择在便于大量战车集结展开的开阔暴露的平原地区。
作战方式：双方战车对垒中，先用弓箭对射，以此杀伤对方造成对方阵容的混乱，然后战车快速逼近时，确保队形排列严整，在双方战车错毂时的瞬间夹击对方战车，从而在格斗中占有优势。
在战车使用最为鼎盛春秋时期，各国军备激增，当时晋国的战车达到了四千乘，楚国战车的数量也与之不相上下。
不过到了战国之后，战车就逐渐退出历史舞台。究其原因，还是自身的局限性太多。首先是对场地要求太高，战车投放战场需要一定的面积，保持队形的齐整、协调，但实际作战环境往往很难满足车战需要。如果不是大平原作战，战车的优势全无，机动性太差，甚至成为拖累。
再就是车战战斗方式特殊，无论在编伍还是在对阵中，都有一定规则，需作战双方共同遵守，春秋时期各诸侯争战还讲究礼仪、宗法，但后期这套规矩全无。战争就是以取胜为目的，不是竞技表演，如果对方不按套路出牌，你很难利用车战，跟对方彬彬有礼的按套路作战取得优势。
还有就是人员配备上，早期战车配有二人，后期演变为三人，其中一个还是指挥，车的周围还有一定的步兵作为辅助，打了胜仗是战车上士兵的功劳，打了败仗周围的步兵还得想办法保护战士，如此以来得不偿失。在城池攻坚作战中，战车作用同样发挥不出来，还得依靠步兵。况且后期骑兵部队的出现，几乎革了车战的命，野战中骑兵是能聚能散，能冲能退，灵活自如，反观车战，优势全无。
公元前405年，韩、赵、魏联合攻齐，“大败之，齐将死，得车二千，得尸三万”，此役三国联军大败齐国以车兵为主的旧式军队。
自战国以后车战逐步衰落，当然并非全面淘汰退出，只是由战场上冲锋陷阵改为了防御敌方冲锋陷阵之用，主动使用车战去杀敌的战史是越来越少，而且车辆多用于运输辎重或环卫营地等。
